Resumo a continuación el procedimiento que yo he seguido para la instalación, y que me ha funcionado tanto en Debian Squeeze como en Linux Mint 16 (en otras distribuciones supongo que también funcionará, utilizando los paquetes correspondientes, pero yo no lo he probado):

1) INSTALAR LIBRERIAS NECESARIAS
sudo apt-get install libccid libpcsclite1 libpcsclite-dev pcscd pcsc-tools libpcsc-perl libusb-dev

2) INSTALAR EL LECTOR DE TARJETAS
Instalamos el lector de tarjetas, en mi caso es un SCR3310.
Descargamos, si no lo tenemos ya, el paquete de instalación del lector.

Descomprimimos el archivo
tar -xvzf /<ruta_al_archivo_descargado>/scmccid_5.0.11_linux.tar.gz

Ejecutamos el archivo de instalación que viene con él
cd /<ruta_al_archivo_descargado>/scmccid_5.0.11_linux
sudo ./install.sh

3) INSTALAR EL CERTIFICADO RAIZ
Importar el certificado raiz de la FNMT accediendo a esta página. Al pulsar sobre el icono con forma de certificado (o un enlace con la palabra «aquí») se abrirá una ventana en la cual marcamos los tres checks que aparecen y luego pulsamos OK.

4) INSTALAR EL PAQUETE OPENSC-DNIE PARA EL DNI ELECTRONICO
Descargamos el paquete que se corresponda con nuestro sistema de la pág. web del eDNI y lo instalamos. En mi caso el paquete a descargar es el Debian_Squeeze_opensc-dnie_1.4.8-2_i386.deb. (Los que usen Linux Mint 11 tienen que descargar el paquete para Ubuntu Natty. Para la versión de Linux Mint 15 sirve la de Ubuntu Precise. Para Linux Mint 16 en 32 bits me ha servido este paquete). La forma más cómoda de instalar el paquete es acceder a él desde el explorador de archivos y pulsando el botón derecho, seleccionar la opción Abrir con instalador de paquetes GDebi.

5) PREPARAR EL NAVEGADOR PARA LA LECTURA DEL DNI ELECTRONICO
Entramos en Firefox /Iceweasel en Editar / Preferencias / Avanzado / Cifrado / Dispositivos de seguridad.
Pulsamos en Cargar y pulsando en el botón Examinar seleccionamos el archivo /usr/lib/libpkcs11-dnie.so y luego pulsamos OK. Pulsamos de nuevo OK y cerramos la ventana de preferencias de Firefox / Iceweasel.

Cerramos el navegador y lo volvemos a abrir. Metemos el eDni en el lector de tarjetas y para comprobar que nos lee nuestro certificado abrimos el Firefox / Iceweasel y vamos a Editar / Preferencias / Avanzado / Criptografía / Ver certificados.
Al pulsar en la pestaña «Mis certificados», nos pedirá el PIN y nos mostrará los certificados del eDNI listos para ser usados en internet

Hay muchas más páginas web sobre cómo instalar el DNI electrónico español en Linux, las que he visto más completas y útiles son:

Instalación de DNI electrónico (DNIe) en Debian Squeeze

Usando el DNI electrónico en Debian squeeze/sid

Documentacion OpenDNIe Instalacion Linux del Cenatic

De todas ellas he extraído información para realizar esta entrada. Muchas gracias a todas.